وأما من جهة تثليث الزاوية فليكن قوس : ا ب ، ثلاثة أجزاء وقد عرف وترها مما يليها ، و : ا ز ، ثلثها ، فمعلوم أنا إذا أخرجنا : ب د ، على موازاة : ا ه ج ، وأخرجنا : د ز ، إلى : ح ، إن كل واحد من : ك د ، ز ح ، يساوي نصف القطر ، فلندر على مركز : د ، وببعد : د ك ، قوس : ل ك م ، فتكون نسبة قطاع : د ل ك ، إلى قطاع : د ك م ، نسبة الضعف ، ونسبة مثلث : د ه ك ، إلى مثلث : د ك ع أعظم من هذه النسبة ، لكن نسبة ما بين المثلثين هي نسبة ما بين قاعدتي : ه ك ، ك ع ، و : ه ك ، إذا أعظم من ضعف : ك ع ، فبالتركيب تكون نسبة : ه ع ، إلى : ع ك ، أعظم من ثلاثة أضعاف : ع ك ، لكن : ه ع ، نصف وتر ضعف قوس : ا ب ، أعني نصف وتر ستة أجزاء ، و : ع د ، نصف وتر تتمة ضعف قوس : ا ب ، إلى نصف الدائرة ، فأخذ من مقدار : ه ع ، العددي أقل من ثلثه ليكون : ك ع ، ومقدار هذه القلة غير مفروض ، وإنما هو مستقري لصحة النتيجة ، وستخرج من : ك ع ، ع د ، الخط القوي عليهما ليكون : ك د ، ولتشابه مثلثي : ك ه ح ، ك ع د ، يكون بعد تركيب النظائر نسبة : ه ع إلى : ع ك ، كنسبة : ح د : إلى : د ك ، فمضروب : ه ع ، في : د ك ، مساو لمضروب : ع ك ، في : ح د . ومتى تساوى السطحان علمنا أنا قد أصبنا : ع ك ، المأخوذ مقداره بالتخمين ، وإذا اختلفا زدنا في مقدار نقصان : ك ع ، عن ثلث : ه ع ، أو زدنا فيه بحسب ما يوجبه الحال حتى يتساويا أو ينحط ضرر اختلافهما إلى الأجزاء التي تدق عن التي تستعملها ، ثم إذا عرف مقدار : ك ، كان عمود : ز س : النازل على : ح ه ، مساويا لنصف : ه ك ، وهذا العمود مساو لنصف وتر : د ب ، الذي هو ثلثا القوس المفروضة ثلاثة أجزاء ، فوتر نصفه هو المطلوب ، أعني وتر : ا ز ، ثلثها ، وذلك ما أردنا أن نحصل . وقد خرج لنا : ه ع ، نصف وتر ضعف : ا ب ، . ، ج ، ح ، كد ، لد ، ولما أخذنا ما هو أقل من ثلثه وهو : ( . ، ا ب ، مه ، ز ، لز ، ز ) وفعلنا ما تقدم خرج كل واحد من السطحين المتولدين من الضرب : ( . ، ج ، ح ، ي ، مز ، لز ، يج ) ، متفقين إلى السوادس ، ثم اختلفا بعد ذلك في الأجزاء التي لا ينتهي الاستعمال